Question

本題共有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則以所做的前2題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e1=

1 1

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15）．求矩陣M．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是

x=2+2sinα y=2cosα

（α是參數）．
現以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，寫出曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
解不等式|2x+1|-|x-4|＞2．

Answer 1

分析：（1）設出M=

a b c d

，則根據二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e1=

1 1

得到關于a，b，c，d的方程

a+b=3 c+d=3.

再根據矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），又可得到關于a，b，c，d的方程

-a+2b=9 -c+2d=15.

組成四元一次方程組即可求解
（2）先消去參數得出曲線C的直角坐標方程再結合：x²+y²=ρ²，y=ρcosθ寫出曲線C的極坐標方程為即可；
（3）令y=|2x+1|-|x-4|，通過分類討論寫出：y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

，作出函數y=|2x+1|-|x-4|的圖象觀察圖象得到|2x+1|-|x-4|＞2的解集．

解答：解：（1）解：設M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=3

1 1

=

3 3

，故

a+b=3 c+d=3.

（3分）

a b c d

-1 2

=

9 15

，故

-a+2b=9 -c+2d=15.

（5分）
聯立以上兩方程組解得a=-1，b=4，c=-3，d=6，故M=

-1 4 -3 6

．（7分）
（2）解：曲線C的直角坐標方程是（x-2）²+y²=4，（3分）
因為x²+y²=ρ²，y=ρcosθ，（5分）
故曲線C的極坐標方程為ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．（7分）
（3）解：令y=|2x+1|-|x-4|，則y=

-x-5，x≤- 1 2 3x-3，- 1 2 ＜x＜4 x+5，x≥4

（3分）
作出函數y=|2x+1|-|x-4|的圖象，
它與直線y=2的交點為（-7，2）和(

5

3

，2)（6分）
所以|2x+1|-|x-4|＞2的解集為(-x，-7)∪(

5

3

，+x)（7分）

點評：本小題主要考查幾種特殊的矩陣變換、簡單曲線的極坐標方程、圓的參數方程、絕對值不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．