Question

某省環保研究所對市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數f（x）與時刻x（時） 的關系為f（x）=|-a|+2a+，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關的參數，且a∈[0，]．
（1）令t=，x∈[0，24]，寫出該函數的單調區間，并選擇其中一種情形進行證明；
（2）若用每天f（x）的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數M（a）是否超標？

Answer 1

【答案】分析：（1）單調遞增區間為[0，1]；單調遞減區間為[1，24]，利用單調性的定義可以證明；
（2）先確定t的取值范圍是[0，]，再進行分類討論，從而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函數，可得當時不超標，從而可得結論．
解答：解：（1）單調遞增區間為[0，1]；單調遞減區間為[1，24]．
證明：任取0≤x₁＜x₂≤1，t（x₁）-t（x₂）=，
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴＜0，∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
所以函數t（x）在[0，1]上為增函數．（同理可證在區間[1，24]單調遞減）
（2）由函數的單調性知t_max（x）=t（1）=1，t_min（x）=t（0）=0，
∴t==，∴t的取值范圍是[0，]．
當a∈[0，]時，由于f（x）=|-a|+2a+，則可記g（t）=|t-a|+2a+
則g（t）=
∵g（t）在[0，a]上單調遞減，在（a，]上單調遞增，
且g（0）=3a+．g（）=a+
∴g（0）-g（）=2（a-）．
故M（a）=．
（3）當時，，∴，不滿足題意；
當時，，∴a≤，∴時，滿足題意
故當時不超標，當時超標．
點評：本題主要考查了函數模型的選擇與應用、考查求函數解析式及分類討論的思想，屬于實際應用題．