Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，左頂點A（-2，0），離心率e=

1

2

，F為右焦點，過焦點F的直線交橢圓C于P、Q兩點（不同于點A）．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當|PQ|=

24

7

時，求直線PQ的方程．
（3）判斷△ABC能否成為等邊三角形，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的標準方程根據題意可a，利用離心率求得c，則b可求得，橢圓的方程可得．
（2）設出直線PQ的方程，與橢圓方程聯立，設出P，Q的坐標，進而根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，則利用弦長公式可表示出|PQ|求得m，直線的方程可得．
（3）假設△APQ是等邊三角形，必有|AP|=|AQ|，利用兩點間的距離公式表示出等式，求得關于m的方程，求得m，驗證不符合題意．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知a=2，e=

c

a

=

1

2

∴c=1，b²=a²-c²=3
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）橢圓右焦點F（1，0）．
設直線PQ方程為x=my+1（m∈R）．
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3x²+4）y²+6my-9=0．①
顯然，方程①的△＞0．設P(x 1，y1)，Q(x2，y2)，
則有y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
|PQ|=

(m2+1)(y1-y2)2

=

(m2+1)( 36m2 (3m2+4)2 + 36 3m2+4 )

=12

(m2+1)2 (3m2+4)2

=12×

m2+1

3m2+4

．
∵|PQ|=

24

7

，
∴=12×

m2+1

3m2+4

=

24

7

．
解得m=±1．
∴直線PQ方程為x=±y+1，即x+y-1=0或x-y-1=0．
（3）△APQ不可能是等邊三角形．
如果△APQ是等邊三角形，必有|AP|=|AQ|，
∴（x₁+2）²+y₁²=（x₂+2）²+y₂²，
∴（x₁+x₂+4）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴[m（y₁+y₂）+6]m（y₁-y₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∵y₁≠y₂，∴(m 2+1)(y1+y2)+6m=0，
∴(m 2+1)

-6m

3m 2+4

+6m=0，
∴m=0，或

m 2+1

3m 2+4

=1（無解）．
而當m=0時，|PQ|=3，|AP|=|AQ|=

3 5

2

，不能構成等邊三角形．
∴△APQ不可能是等邊三角形．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生邏輯思維能力和統籌運算的能力．