Question

某中學對某班50名學生學習習慣和數學學習成績進行長期的調查，學習習慣和數學成績都只分良好和一般兩種情況，得到的統計數據（因某種原因造成數據缺省，現將缺省部分數據用x，y，z，m，n表示）如下表所示：

	數學成績良好	數學成績一般	合計
學習習慣良好	20	x	25
學習習慣一般	y	21	z
合計	24	m	n

（1）在該班任選一名學習習慣良好的學生，求其數學成績也良好的概率．
（2）已知A是學習習慣良好但數學成績一般的學生，B是學習習慣一般但數學成績良好的學生，在學習習慣良好但數學成績一般的學生和學習習慣一般但數學成績良好的學生中，各選取一學生作代表，求A、B至少有一個被選中的概率．
（3）有多大的把握認為該班的學生的學習習慣與數學成績有關系？說明理由．
參考公式：；
臨界值表：

p（Χ2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

解：由已知：n=50，∴x=5，z=25，y=4，d=26…（2分）
（1）從學習習慣良好的學生中任選一人共有25種情況，而數學成績良好的共有20種情況
∴…（4分）
（2）記A、B至少有一個被選中為事件T
記除A外其他學習習慣良好但數學成績一般的同學分別為A₁，A₂，A₃，A₄，除B外其他學習習慣一般但數學成績良好的同學分別為B₁，B₂，B₃，則選人所有可能有：AB，AB₁，AB₂，AB₃A₁B，A₁B₁，A₁B₂，A₁B₃A₂B，A₂B₁，A₂B₂，A₂B₃A₃B，A₃B₁，A₃B₂，A₃B₃A₄B，A₄B₁，A₄B₂，A₄B₃共20個結果 …（6分）
其中T中含AB，AB₁，AB₂，AB₃，A₁B，A₂B，A₃B，A₄B共8個結果…（7分）
…（8分）
（3）…（11分）
∴我們有99.9%的把握認為“該班學生的學習習慣與數學學習成績”有關系 …（12分）
分析：（1）首先確定n=50，x=5，z=25，y=4，d=26，求得從學習習慣良好的學生中任選一人共有25種情況，而數學成績良好的共有20種情況，從而可求概率；
（2）利用列舉法，求得選人所有可能，A、B至少有一個被選中的結果，利用古典概型概率公式，即可求得結論；
（3）利用公式求得Χ²，對照臨界值表，即可求得結論．
點評：本題考查概率的計算，考查列舉法確定基本事件，考查獨立性檢驗知識，正確運算是關鍵．