Question

（2013•汕頭二模）已知函數f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）對于定義域內的任意x恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）設h（x）=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，證明：h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2；
（3）設r(x)=f(x)+g(

1+ax

2

)對于任意的a∈（1，2），總存在x0∈[

1

2

，1]，使不等式r（x）＞k（1-a²）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于f（x）≥g（x）恒成立，只需使x²-ax≥lnx，（x＞0）分離參數來解決，注意a≤F（x）即要a≤F（x）_min；a≥F（x）即要a≥F（x）_max；
（2）借助于極值點的范圍，利用函數的導數來處理；
（3）與（1）類似處理，注意分類討論．

解答：解：（1）由題意：f（x）≥g（x）?x²-ax≥lnx，（x＞0）
分離參數α可得：a≤x-

lnx

x

，（x＞0）…（1分）
設Φ(x)=x-

lnx

x

，則Φ′(x)=1+

lnx-1

x2

=

x2+lnx-1

x2

…（2分）
由于函數y=x²，y=lnx在區間（0，+∞）上都是增函數，所以
函數y=x²+lnx-1在區間（0，+∞）上也是增函數，顯然x=1時，該函數值為0
所以當x∈（0，1）時，Φ^′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，Φ^′（x）＞0
所以函數Φ（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數
所以Φ（x）_min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）_min=1即a∈（-∞，1）…（4分）
（2）由題意知道：h（x）=x²-ax+lnx．則h′(x)=2x-a+

1

x

=

2x2-ax+1

x

，(x＞0)
所以方程2x²-ax+1=0，（x＞0）有兩個不相等的實數根x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，
又因為x1x2=

1

2

，所以x2=

1

2x1

∈(1，+∞)，且axi=2xi2+1，(i=1，2)…（6分）
而h（x₁）-h（x₂）=(x12-ax1+lnx1)-(x22-ax2+lnx2)
=[x12-(2x12+1)+lnx1]-[x22-(2x22+1)+lnx2]
=x22-x12+ln

x1

x2

=x22-(

1

2x2

)2+ln

1 2x2

x2

═x22-

1

4x22

-ln2x22，（x₂＞1）
設μ(x)=x2-

1

4x2

-ln2x2，(x≥1)，則μ′(x)=

(2x2-1)2

2x3

≥0
所以μ(x)＞μ(1)=

3

4

-ln2，即h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2…（8分）
（3）r(x)=f(x)+g(

1+ax

2

)=x2-ax+ln

1+ax

2

所以r′(x)=2x-a+

a

ax+1

=

2ax2-a2x+2x

ax+1

=

2ax(x- a2-2 2a )

ax+1

…（9分）
因為a∈（1，2），所以

a2-2

2a

=

a

2

-

1

a

≤

2

2

-

1

2

=

1

2

所以當x ∈(

1

2

，+∞)時，r（x）是增函數，所以當x0∈[

1

2

，1]時，
r(x0)max=r(1)=1-a+ln

a+1

2

，a∈（1，2）…（10分）
所以，要滿足題意就需要滿足下面的條件：1-a+ln

a+1

2

＞k(1-a2)，
若令φ(a)=1-a+ln

a+1

2

-k(1-a2)，a∈（1，2），
即對任意a∈（1，2），φ(a)=1-a+ln

a+1

2

-k(1-a2)＞0恒成立
因為φ^′（a）=-1+

1

a+1

+2ka=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)…（11分）
分類討論如下：
①若k=0，則φ′(a)=

-a

a+1

，所以φ（a）在（1，2）遞減，
此時φ（a）＜φ（1）=0不符合題意
②若k＜0，則φ′(a)=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)，所以φ（a）在區間（1，2）遞減，
此時φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
③若k＞0，則φ′(a)=

2ka

a+1

(a-

1

2k

+1)，那么當

1

2k

-1＞1時，假設t為2與

1

2k

-1中較小的一個數，即t={2，

1

2k

-1}，
則φ（a）在區間（1，min{2，

1

2k

-1}）上遞減，此時φ（a）＜φ（1）=0不符合題意．
綜上可得

k＞0 1 2k -1≤1

解得k≥

1

4

，即實數k的取值范圍為[

1

4

，+∞)…（14分）

點評：本題考查導數的綜合應用，屬于較難的題目，注意與不等式恒成立的有關的參數取值范圍問題常用分離參數來解決．