Question

若二次函數f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在區間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)＝x²－x＋1.(2) (－∞，－1)．

試題分析：(1)由f(0)＝1得，c＝1.                     1分
∴f(x)＝ax²＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1－(ax²＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，∴∴        5分
因此，f(x)＝x²－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等價于x²－x＋1>2x＋m，                 6分
即x²－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，
只需使函數g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．   8分
∵g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上單調遞減，
∴g(x)_min＝g(1)＝－m－1，                                10分
由－m－1>0得，m<－1.
因此滿足條件的實數m的取值范圍是(－∞，－1)．          12分
點評：對于二次函數f(x)=ax²+bx+c=0(a≠0)在實數集R上恒成立問題可利用判別式直接求解，即：f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立，若是二次函數在指定區間上的恒成立問題，還可以利用韋達定理以及根與系數的分布知識求解