Question

【題目】已知函數（）.

（1）若，求函數的極值.

（2）若在有唯一的零點，求的取值范圍.

（3）若，設，求證： 在內有唯一的零點，且對（2）中的，滿足.

Answer 1

【答案】（1）有極小值，無極大值 （2） （3）證明見解析

【解析】試題分析：

(1)首先求得導函數，然后利用導函數的符號確定原函數的單調性可得有極小值，無極大值.

(2)對函數求導后令設．結合二次函數的性質分類討論可得的取值范圍是

(3) 設，則，換元可得，利用導函數研究函數零點所在的區間即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）當時， ， ，

．

由，令，得．

當變化時， ， 的變化如下表：

		0
		極小值

故函數在單調遞減，在單調遞增，

有極小值，無極大值．

（2）解法一： ，

令，得，設．

則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點

當時，方程的解為，滿足題意；

當時，由函數圖象的對稱軸，函數在上單調遞增，

且， ，所以滿足題意；

當， 時， ，此時方程的解為，不符合題意；

當， 時，由，

只需，得．

綜上， ．

（說明： 未討論扣1分）

解法二： ，

令，由，得．

設，則， ，

問題轉化為直線與函數的圖象在恰有一個交點問題．

又當時， 單調遞增，

故直線與函數的圖象恰有一個交點，當且僅當．

（3）設，則，

，

，

由，故由（2）可知，

方程在內有唯一的解，

且當時， ， 單調遞減；

時， ， 單調遞增．

又，所以．

取，

則

，

從而當時， 必存在唯一的零點，且，

即，得，且，

從而函數在內有唯一的零點，滿足．