Question

【題目】已知函數(shù)， ，其中是的導函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（Ⅰ） ，切線的斜率，所以切線方程為，即．

（Ⅱ）在上恒成立，即在上恒成立，即，構(gòu)造求最小值即可.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，且，

由導數(shù)的幾何意義所求切線的斜率，

所以所求的切線方程為，即．

（Ⅱ）， ，

∴在上恒成立，

即，即在上恒成立，即．

令，則，

令， ，

當時， ，∴在上單調(diào)遞增．

∴，∴（），

∴，∴在上單調(diào)遞增，當然在上也單調(diào)遞增，

∴，

∴．

點晴:本題主要考查導數(shù)與切線，導數(shù)與極值點、不等式等知識. 解答此類問題，應該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個轉(zhuǎn)化：(1)利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性,最值問題處理．