Question

如圖,平面ABCD⊥平面ABEF,又ABCD是正方形,ABEF是矩形,且G是EF的中
點.

（1）求證：平面AGC⊥平面BGC;
（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值.

Answer 1

（1）先證AG⊥平面CBG  （2）

試題分析：(1)證.正方形ABCD,∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB,∴CB⊥面ABEF
∵AG,GB面ABEF, ∴CB⊥AG,CB⊥BG.又AD=2a,AF= a, ABEF是矩形,G是EF的中點.
∴AG=BG=,AB=2a, AB²=AG²+BG², ∴AG⊥BG,∵BC∩BG=B,∴AG⊥平面CBG,而AG面AGC,故平
面AGC⊥平面BGC.  
(2)解.如圖,由(1)知面AGC⊥面BGC,且交于GC,在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC,垂足為H,則BH⊥平面AGC,
∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角.

∴在R t△CBG中
又BG=，∴ 
點評：本題考查面面垂直的判定方法，以及求線面成的角的求法，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想．