Question

已知數列{a_n}成等比數列，且a_n＞０．
（1）若a₂－a₁=8，a₃=m．
①當m=48時，求數列{a_n}的通項公式；
②若數列{a_n}是唯一的，求m的值；
（2）若a_2k＋a_2k－1＋ ＋a_k＋1－ (a_k＋a_k－1＋ ＋a₁ )＝8，k∈N*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋ ＋a_3k的最小值．

Answer 1

（1）①an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1，②an＝2n＋2．．（2）32．．

試題分析：（1）①確定等比數列通項，只需確定首項及等比，這需兩個獨立條件．由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得解之，得  或所以數列{an}的通項公式為an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．②正確理解數列{an}是唯一的的含義，即關于a1與q的方程組有唯一正數解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時q＝2．經檢驗，當m＝32時，數列{an}唯一，其通項公式是an＝2n＋2．（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1) ＝＝≥32，當且僅當 ，即q＝，a1＝8(－1)時，a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值為32.
解：設公比為q，則由題意，得q＞0．
（1）①由a2－a1＝8，a3＝m＝48，得
解之，得  或
所以數列{an}的通項公式為
an＝8(2－)(3＋)n-1，或an＝8(2＋)(3－)n-1．    5分
②要使滿足條件的數列{an}是唯一的，即關于a1與q的方程組有唯一正數解，即方程8q2－mq＋m＝0有唯一解．
由△＝m2－32m＝0，a3＝m＞0，所以m＝32，此時q＝2．
經檢驗，當m＝32時，數列{an}唯一，其通項公式是an＝2n＋2．   10分
（2）由a2k＋a2k－1＋ ＋ak＋1－ (ak＋ak－1＋ ＋a1 )＝8，
得a1(qk－1)(qk－1＋qk－2＋ ＋1)＝8，且q＞1．         13分
a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k＝a1q2k(qk－1＋qk－2＋ ＋1)
＝＝≥32，
當且僅當 ，即q＝，a1＝8(－1)時，
a2k＋1＋a2k＋2＋ ＋a3k的最小值為32．        16分