Question

(本小題滿分20分)在金融危機中,某鋼材公司積壓了部分圓鋼,經清理知共有2009根.現將它們堆放在一起.

(1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數比上一層根數多1根),并使剩余的圓鋼盡可能地少,則剩余了多少根圓鋼?

(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數比上一層根數多1根),且不少于七層，

（Ⅰ）共有幾種不同的方案?

（Ⅱ）已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個方案，最能節省堆放場地？

Answer 1

解：（1）當縱斷面為正三角形時，設共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數是以1為首項、1為公差的等差數列，且剩余的圓鋼一定小于根，從而由且得，當時，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時剩余了56根圓鋼；

（2）（Ⅰ）當縱斷面為等腰梯形時，設共堆放層,則從上到下每層圓鋼根數是以為首項、1為公差的等差數列，從而，即

，因與的奇偶性不同，所以與的奇偶性也不同，且，從而由上述等式得：

或或或，所以共有4種方案可供選擇。

（Ⅱ）因層數越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由（2）可知：

若，則，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為400 cm，上下底之長為280 cm和680cm，從而梯形之高為 cm，

而，所以符合條件；

若，則，說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480 cm，上下底之長為160 cm和640cm，從而梯形之高為 cm，顯然大于4m，不合條件，舍去；

綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節省堆放場地。