Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求證：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)锳D⊥平面PAB，AP平面PAB，所以AD⊥AP．

又因?yàn)锳P⊥AB，AB∩AD=A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以AP⊥平面ABCD．

因?yàn)镃D平面ABCD，所以CD⊥AP

（2）證明：因?yàn)镃D⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD平面PAD，AP平面PAD，

所以CD⊥平面PAD．①

因?yàn)锳D⊥平面PAB，AB平面PAB，所以AB⊥AD．

又因?yàn)锳P⊥AB，AP∩AD=A，AP平面PAD，AD平面PAD，

所以AB⊥平面PAD．②

由①②得CD∥AB，

因?yàn)镃D平面PAB，AB平面PAB，所以CD∥平面PAB

【解析】（1）推導(dǎo)出AD⊥AP，AP⊥AB，從而AP⊥平面ABCD，由此能證明CD⊥AP．（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推導(dǎo)出AB⊥AD，AP⊥AB，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而CD∥AB，由此能證明CD∥平面PAB．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．