Question

（2012•浦東新區二模）已知函數y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數x，對于給定的非零常數m，總存在非零常數T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類增周期函數，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類周期函數，周期為T．
（1）已知函數f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數，求實數a的取值范圍；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調遞增函數，當x∈[0，1）時，f（x）=2^x，求實數m的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知當x∈[0，4]時，函數f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數，且y=f（x）的值域為一個閉區間，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數k，使函數f（x）=coskx是R上的周期為T的T級類周期函數，若存在，求出實數k和T的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得a＜x-1-

2

x-1

，令x-1=t（t≥2），由g（t）=t-

2

t

在[2，+∞）上單調遞增，即可求得實數a的取值范圍；
（2）由x∈[0，1）時，f（x）=2^x，可求得當x∈[1，2）時，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，…當x∈[n，n+1）時，f（x）=mⁿ•2^x-n，利用f（x）在[0，+∞）上單調遞增，可得
m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），從而可求實數m的取值范圍；
（3）（Ⅰ）當x∈[0，4]時，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），于是可求當x∈[4n，4n+4]，n∈Z時，f（x）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，對m分當0＜m≤1時，-1＜m＜0，m=-1，m＞1與m＜-1時的討論，即可得答案；
（Ⅱ）f（x+T）=Tf（x）對一切實數x恒成立，即cosk（x+T）=Tcoskx對一切實數恒成立，分當k=0時，T=1；當k≠0時，要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，于是可得答案．

解答：解：（1）由題意可知：f（x+1）＞2f（x），即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-x²+ax）對一切[3，+∞）恒成立，
整理得：（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x≥3，
∴a＜

x2-2x-1

x-1

=

(x-1)2-2

x-1

=x-1-

2

x-1

，
令x-1=t，則t∈[2，+∞），g（t）=t-

2

t

在[2，+∞）上單調遞增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）時，f（x）=2^x，
∴當x∈[1，2）時，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，…
當x∈[n，n+1）時，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）時，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n≥m^n-1•2^n-（n-1），
即m≥2．
（3）問題（Ⅰ）∵當x∈[0，4]時，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴當x∈[4n，4n+4]，n∈Z時，f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
當0＜m≤1時，f（x）∈[-4，0]；
當-1＜m＜0時，f（x）∈[-4，-4m]；
當m=-1時，f（x）∈[-4，4]；
當m＞1時，f（x）∈（-∞，0]；
當m＜-1時，f（x）∈（-∞，+∞）；
綜上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．
問題（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）=Tf（x）對一切實數x恒成立，
即cosk（x+T）=Tcoskx對一切實數恒成立，
當k=0時，T=1；
當k≠0時，
∵x∈R，
∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，
又∵cos（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，
當T=1時，cos（kx+k）=coskx得到 k=2nπ，n∈Z且n≠0；
當T=-1時，cos（kx-k）=-coskx得到-k=2nπ+π，
即k=（2n+1）π，n∈Z；
綜上可知：當T=1時，k=2nπ，n∈Z；
當T=-1時，k=（2n+1）π，n∈Z．

點評：本題考查周期函數，著重考查函數在一定條件下的恒成立問題，綜合考察構造函數、分析轉化、分類討論的數學思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題．