Question

（2012•浦東新區(qū)一模）若X是一個(gè)非空集合，M是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：
①X∈M、∅∈M；
②對(duì)于X的任意子集A、B，當(dāng)A∈M且B∈M時(shí)，有A∪B∈M；
③對(duì)于X的任意子集A、B，當(dāng)A∈M且B∈M時(shí)，A∩B∈M；
則稱(chēng)M是集合X的一個(gè)“M-集合類(lèi)”．
例如：M={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}是集合X={a，b，c}的一個(gè)“M-集合類(lèi)”．已知集合X={a，b，c}，則所有含{b，c}的“M-集合類(lèi)”的個(gè)數(shù)為

10

．

Answer 1

分析：根據(jù)新定義以集合為元素組成集合，由②③可知M-集合類(lèi)集合至少含有三個(gè)元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，然后再研究其它幾個(gè)元素的添加方式有多少個(gè)，可分添加元素的個(gè)數(shù)分為0，1，2，3，4，5共六類(lèi)進(jìn)行討論得出結(jié)論

解答：解依題意知，M中至少含有這幾個(gè)元素：∅，{b，c}，{a，b，c}，將它看成一個(gè)整體；
剩余的{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}共5個(gè)，{a，b}和{b}必須同時(shí)在M中，{a，c}和{c}必須同時(shí)在M中；
①{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加0個(gè)的集合為{∅，{b，c}，{a，b，c}}，一種
②{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加1個(gè)的集合為{∅，{a}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{b}，{b，c}，{a，b，c}}，{∅、{c}，{b，c}，{a，b，c}}，共三種
③{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加2個(gè)的集合共3種即{b}、{c}；{c}、{a，c}；{b}、{a，b}三種添加方式
④{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加3個(gè)的集合共2種，即：{b}、{c}、{a，c}；④{a}、{b}、{a，b}二種
⑤{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加4個(gè)的集合共0種
⑥{a}、{b}、{c}、{a，c}、{a，b}添加5個(gè)的集合共1種
綜上討論知，共10種
故答案為10

點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義，比較麻煩，注意M-集合類(lèi)滿足①②③三個(gè)條件，根據(jù)M-集合類(lèi)的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行書(shū)寫(xiě)，會(huì)方便些，此題是一道中檔題．