Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的各項(xiàng)滿足a₁=1-3k，a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R），
（Ⅰ）判斷數(shù)列{a_n-

4n

7

}是否成等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用已知a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R）變形為an+1-

4n+1

7

=-3(an-

4n

7

)（n≥1，k∈R）．對(duì)首項(xiàng)討論即可．
（II）由（I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（III）作差a_n+1-a_n．利用數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，可得a_n+1-a_n＞0恒成立，對(duì)n分奇偶討論，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵a_n=4^n-1-3a_n-1（n≥2，k∈R），∴an+1-

4n+1

7

=-3(an-

4n

7

)（n≥1，k∈R）．
而a₁=1-3k，∴a1-

4

7

=-3(k-

1

7

)．
當(dāng)k=

1

7

時(shí)，a1-

1

7

=0，則數(shù)列{a_n-

4n

7

}不成等比數(shù)列；
當(dāng)k≠

1

7

時(shí)，a1-

1

7

≠0，則數(shù)列{a_n-

4n

7

}成等比數(shù)列．
（II）由（I）可知：當(dāng)k≠

1

7

時(shí)，a1-

1

7

≠0，a_n-

4n

7

=(k-

1

7

)•(-3)n．
當(dāng)k=

1

7

時(shí)，上式也符合．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=(k-

1

7

)•(-3)n+

4n

7

．
（III）a_n+1-a_n=(k-

1

7

)•(-3)n+1+

4n+1

7

-(k-1)•(-3)n-

4n

7

=-4(k-

1

7

)•(-3)n+

3

7

×4n．
∵數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，∴-4(k-

1

7

)•(-3)n+

3

7

×4n＞0恒成立，
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有12(k-

1

7

)•3n-1+

3

7

×4n＞0，即k＞

1

7

[1-(

4

3

)n-1]恒成立．
由1-(

4

3

)n-1≤1-(

4

3

)0=0，可得k＞0．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有-4(k-

1

7

)•3n+

3

7

×4n＞0．即k＜

1

7

[1+(

4

3

)n-1]恒成立．
由1+(

4

3

)n-1≥1+(

4

3

)2-1=

7

3

，可得k＜

1

3

．
綜上可得：k的取值范圍是(0，

1

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞增數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．