Question

2013年東亞運動會于2013年10月6日至10月15日在中國天津舉行．天津某體育用品專賣店抓住商機購進某種東亞運動會特許商品進行銷售，該特許產品的成本為20元/個，每日的銷售量y（單位：個）與單價x（單位：元）之間滿足關系式y=

a

x-20

+4(x-50)2（其中20＜x＜50，a為常數）．當銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個
（1）求a的值及每日銷售該特許產品所獲取的總利潤L（x）；
（2）試確定單價x的值，使所獲得的總利潤L（x）最大．

Answer 1

分析：（1）由銷售價格為40元/個時，每日可售出該商品401個求出a的值，則總利潤L（x）等于售量乘以售價減去總成本；
（2）對利潤函數求導，利用導數分析當x取何值時總利潤最大．

解答：解：（1）由y=

a

x-20

+4(x-50)2，取x=40，y=401得，401=

a

40-20

+4(40-50)2
解得：a=20．
所以y=

20

x-20

+4(x-50)2．
則每日銷售該特許產品所獲取的總利潤
L（x）=y（x-20）=[

20

x-20

+4(x-50)2](x-20)=20+4(x-50)2(x-20)（20＜x＜50）；
（2）由L（x）=20+4（x-50）²（x-20）=4x³-480x²+18000x-199980．
得L′（x）=12x²-960x+18000=12（x-30）（x-50）．
當x∈（20，30）時，L′（x）＞0，L（x）為增函數，
當x∈（30，50）時，L′（x）＜0，L（x）為減函數．
所以當x=30時，L（x）_max=16020．
所以當銷售單價為30元/個時，所獲得的總利潤L（x）最大．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了利用導數研究函數的最值，關鍵在于數學模型的建立，是中檔題．