Question

一圓與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線y=x截得的弦長等于2

7

，則這個圓的標準方程為：

 

．

Answer 1

分析：設出圓的標準方程，表示出圓心坐標和半徑r，由圓心在直線3x-y=0上，把圓心坐標代入方程得到關于a與b的關系式，用a表示出b，又根據圓與x軸相切，得到圓心的縱坐標的絕對值等于半徑r，用a表示出半徑r，將表示出的b及r代入圓的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線x-y=0的距離d，根據垂徑定理得到弦的一半，圓的半徑r及弦心距構成直角三角形，根據勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，代入即可確定出圓的方程．

解答：解：設圓的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
所以圓心坐標為（a，b），半徑為r（r＞0），
由圓心在3x-y=0上，得到3a-b=0，即b=3a；
又圓與x軸相切，得到r=|b|=|3a|，
則圓的方程變形為：（x-a）²+（y-3a）²=9a²，
所以圓心到直線x-y=0的距離d=

|a-3a|

2

，
根據垂徑定理及勾股定理得：(

|2a|

2

)2+(

2 7

2

)2=9a²，
化簡得：a²=1，解得a=±1，
則所求圓的方程為：（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9．
故答案為：（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，點到直線的距離公式，垂徑定理及勾股定理．要求學生會利用待定系數法求圓的方程，根據垂徑定理垂直于弦則平分弦，由弦的一半，圓的半徑及弦心距構成的直角三角形，利用勾股定理解決問題．