Question

一圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，在y=x上截得的弦長為2

7

．
（1）求此圓的方程．
（2）設M（x，y）是此圓上一點，O為坐標原點，求直線OM的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由圓心坐標為（a，b），半徑為r，設出圓的標準方程，根據圓與y軸相切，得到圓的半徑等于圓心橫坐標的絕對值，把圓心坐標代入直線x-3y=0，得到關于a與b的方程，再由垂徑定理得到弦心距，弦的一半及圓的半徑構成的直角三角形，利用勾股定理表示出一個關系式，三者聯立即可求出a，b及r的值，從而確定出圓的方程；
（2）根據直線OM過原點，設斜率為k，寫出直線OM的方程，代入第一問求出的圓的方程，消去y后得到關于x的一元二次方程，令根的判別式大于等于0列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍．

解答：解：（1）設所求圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
則

r=|a| a-3b=0 ( |a-b| 2 )2+( 7 )2=r2

，解得

a=3 b=1 r=3

或

a=-3 b=-1 r=3

．（4分）
所以，所求圓的方程為（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．（6分）
（2）設直線OM方程為y=kx，代入所求出的圓的方程，
整理得（1+k²）x²-（6+2k）x+1=0或（1+k²）x²+（6+2k）x+1=0，
由判別式△≥0，解得k≥-

4

3

．（10分）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，要求學生掌握垂徑定理，勾股定理及方程有解時根的判別式大于等于0這個結論，會利用待定系數法求圓的方程．