Question

在平面直角坐標系xOy內(nèi)有三個定點A（2，2）．B（1，3），C（1，1），記△ABC的外接圓為E．
（I）求圓E的方程；
（Ⅱ）若過原點O的直線l與圓E相交所得弦的長為

2

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設圓E的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，將A、B、C的坐標代入，建立關于D、E、F的方程組，解之即可得到△ABC的外接圓E的方程；
（II）化圓E為標準方程，得圓心為E（1，2），半徑r=1．設直線l方程為y=kx，由點到直線的距離公式和垂徑定理建立關于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直線l的方程．

解答：解：（I）設圓E的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圓E上
∴

4+4+2D+2E+F=0 1+9+D+3E+F=0 1+1+D+E+F=0

，解之得

D=-2 E=-4 F=4

因此，圓E的方程為x²+y²-2x-4y+4=0；
（II）將圓E化成標準方程，可得（x-1）²+（y-2）²=1
∴圓心為E（1，2），半徑r=1
設直線l方程為y=kx，則圓心E到直線l的距離為d=

|k-2|

k2+1

∵直線l與圓E相交所得弦的長為

2

，
∴由垂徑定理，得d²+（

2

2

）²=r²=1
可得d²=

1

2

，即

(k-2)2

k2+1

=

1

2

，解之得k=1或7
∴直線l的方程是y=x或y=7x．

點評：本題給出三角形ABC三個頂點，求它的外接圓E的方程，并求截圓所得弦長為

2

的直線方程．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．