Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

．
（1）若向量

a

與

b

的夾角為

3π

4

，求(

a

+

b

)•(

a

+

b

)的值；
（2）若 

a

-

b

與

a

垂直，求

a

與

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由數量積的定義，結合題意代入可得答案；
（2）設向量

a

與

b

的夾角為θ，由垂直可得數量積為0，代入式子可得夾角的余弦值，進而可得答案．

解答：解：（1）由題意可得：(

a

+

b

)•(

a

+

b

)
=|

a

|2+|

b

|2+2|

a

||

b

|cos ＜

a

，

b

＞
=1+2+2×1×

2

×（-

2

2

）=1
（2）設向量

a

與

b

的夾角為θ，
由 

a

-

b

與

a

垂直可得(

a

-

b

)•

a

=0，
即|

a

|2-|

a

||

b

|cosθ=0，即1-

2

cosθ=0，
解得cosθ=

2

2

，因為θ∈[0，π]，
故

a

與

b

的夾角θ=

π

4

點評：本題考查向量的數量積和夾角公式，正確進行數量積的運算時解決問題的關鍵，屬中檔題．