Question

如圖，正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，點在棱上．
（1）若，求證：直線平面；
（2）是否存在點，使平面⊥平面，若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由；
（3）請指出點的位置，使二面角平面角的大小為．

Answer 1

（1）略（2）不存在（3）點在棱上且

（1）證：連接交于點，            ……（1分）
在平行四邊形中，
有，又                                          ……（2分）
∴為的中位線，從而，                         
又平面∴直線平面；                          ……（3分）
（2）解：假設存在點，使平面⊥平面，
過點作于，則平面，
又過作于，則平面，                   ……（5分）
而過平面外一點有且僅有一條直線與已知平面垂直，故、應重合于點，此時應有，故，
又點在棱上，故，
顯然矛盾，故不存在這樣的點，使平面⊥平面．         ……（7分）

（3）解：連接，過作于．由（2）中的作法可知
為二面角平面角，                                ……（8分）
設，則，                                                   
則可得，，
，                                  ……（10分）
∴．∴