Question

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，已知，.

（1）求證：OD//平面VBC；
（2）求證：AC⊥平面VOD；
（3）求棱錐的體積.

Answer 1

(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3)

解析試題分析：
(1)要證明面VBC,只需要在面內找到一條線段與平行即可,根據題目條件分析可得平行于面VBC內的線段BC,在三角形ABC中根據D,O是線段AC,AB的中點,即可得到OD為三角形BC邊的中位線,即可得到,進而通過線線平行得到線面平行.
(2)要證明面VOD, ,根據AB為圓的直徑可得,再根據第二問OD為三角形ABC的中位線,即可得到,因為三角形VCA為等腰三角形且D為AC中點,利用等腰三角形的三線合一即可得到VD垂直于AC,綜上在面VOD內找到兩條相交的線段與AC垂直,根據線面垂直的判定即可得到AC垂直于面VOD.
(3)要求三棱錐的體積,可以以三角形為底面,此時根據AC垂直于面VOD可以得到VO垂直于AC,又根據等腰三角形VAB的三線合一可以得到VO垂直于AB,則VO垂直于ABC面內相交的兩條線段,故有VO垂直于面ABC,則三棱錐的高為VO,因為底面三角形ABC為等腰直角三角形,故,其中AC,BC可以利用三角形的勾股定理求的.而高VO的長可以利用直角三角形VOB的勾股定理求的,再利用三棱錐的體積公式即可求的相應的體積.
試題解析：
證明：（1）∵ O、D分別是AB和AC的中點，∴OD//BC.              （1分）
又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.                   （3分）
（2）∵VA=VB，O為AB中點，∴.                          （4分）
連接，在和中，,
∴≌DVOC，∴=ÐVOC=90°，∴.            （5分）
∵,平面ABC,平面ABC, ∴VO⊥平面ABC. （6分）
∵平面ABC，∴.                                    （7分）
又∵，是的中點，∴.                       （8分）
∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，，∴ AC平面DOV.   （9分）
（3）由（2）知是棱錐的高，且.  （10分）
又∵點C是弧的中點，∴，且，
∴三角形的面積，              （11分）
∴棱錐的體積為，  （12分）
故棱錐的體積為.                                  （13分）
考點：三棱錐體積 線面平行 線面垂直 中位線 三線合一