Question

（本小題滿分12分）如圖所示，在直三棱柱中,、、分別是、、的中點，是上的點.
（1）求直線與平面所成角的正切值的最大值；
（2）求證：直線平面；
（3）求直線與平面的距離.

(第19題圖)

 

Answer 1

（1）線PE與平面ABC所成角的最大值為 
（2）略
（3）

解:（1）PE在平面ABC內的射影為AP，
則∠EPA為PE與平面ABC所成角的平面角，

當點P與D重合時，AP最短，此時：

取直線PE與平面ABC所成角的最大值為     …………（4分）
（2）如圖所示，連接DE、CE，∵D、E、F分別是所在棱的中點，
  
,
又平面EDC//平面
  ………………………………………………………（8分）
（3）解法一 由（2）可知，直線PE與平面的距離等于兩平行平面EDC與平面 的距離，即點到平面EDC的距離，亦即A到平面EDC的距離.設A到平面EDC的距離為，又，平面且平面，又,
為直角三角形.
由，得
      ………………………………………… （12分）
解法二 由（1）知，平面EDC//平面,故平面的法向量也為.又E到平面的距離，即為向量在法向量n上的投影的絕對值，
又=