Question

（本小題滿分14分）
在數(shù)列中，，其中．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，①式減去②式，數(shù)列的前項(xiàng)和
當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和
（Ⅲ）存在，使得對任意均成立。

（Ⅰ）解法一：，
，
．
由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)時(shí)，，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，
那么
．
這就是說，當(dāng)時(shí)等式也成立．根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立．
解法二：由，，
可得，
所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（Ⅱ）解：設(shè)，　　　①
　　　　　　　　②
當(dāng)時(shí)，①式減去②式，
得，
．
這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．
當(dāng)時(shí)，．這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和．
（Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明：
．　　　　③
由知，要使③式成立，只要，
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．
所以③式成立．
因此，存在，使得對任意均成立．