Question

已知雙曲線C與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有共同的漸近線，且經過點P(4，-3

2

)．
（I）求雙曲線C的方程及其準線方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+1與雙曲線C有唯一公共點，求k的值．

Answer 1

分析：（I）利用雙曲線C與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1有共同的漸近線，設出雙曲線方程，代入P的坐標，即可求雙曲線C的方程，從而可求準線方程；
（Ⅱ）直線y=kx+1與雙曲線C聯立，分類討論，利用判別式，可求k的值．

解答：解：（I）設雙曲線C的方程為

x2

16

-

y2

9

=λ，根據題意得

16

16

-

18

9

=λ，∴λ=-1．
∴雙曲線C的方程為

y2

9

-

x2

16

=1
∴a=3，b=，4，c=

a2+b2

=5
∴雙曲線C的準線方程為y=±

a2

c

=±

9

5

．
（Ⅱ）由

y2 9 - x2 16 =1 y=kx+1

得（16k²-9）x²+32kx-128=0，
當16k²-9=0，即k=±

3

4

時，方程分別有一解，從而方程組分別有一解，符合題意；
當16k²-9≠0，即k≠±

3

4

時，由△=（32k）²+512（16k²-9）=0得k2=

1

2

，∴k=±

2

2

．
綜上，k的值為±

3

4

和±

2

2

．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于基礎題．