Question

已知雙曲線C與雙曲線

x2

2

-y²=1有相同的漸近線，且經過點（-3，2）
（1）求雙曲線C的方程
（2）已知直線l過點（0，

3

）且傾斜角是45°，求直線l被雙曲線C所截得的弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）設出與雙曲線

x2

2

-y²=1有相同的漸近線的方程，代入點（-3，2），即可求出曲線C的方程
（2）求出直線方程，代入雙曲線方程，利用韋達定理，即可求出|AB|．

解答：解：（1）設雙曲線C的方程為

x2

2

-y²=λ
將點（-3，2）代入，可得λ=

1

2

，
∴雙曲線C的方程為x²-2y²=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直線l過點（0，

3

）且傾斜角是45°，
∴直線l的方程為y=x+

3

代入雙曲線x²-2y²=1，可得x2+4

3

x+7=0
∴x₁+x₂=4

3

，x₁x₂=7
∴|AB|=

1+1

•|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

10

．

點評：本題考查雙曲線的方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．