Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

（Ⅰ）（軌跡方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。

解析:

（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；

（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①

（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn)。

（2）當(dāng)時(shí)，由，

得==，

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，所以，

此時(shí)，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點(diǎn)。

所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。