Question

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.

(1) 求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

(2) 是否存在直線，使過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

⑴；⑵。

解析:

（1）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心， ，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為

，由題意知：，  ………………………………………………2分

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，  ∴ 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為 ………………………5分

（2）由題可設(shè)直線的方程為，

由得  

   △，  ………………………………………………………………………………7分

設(shè)，，則， 

   由，即 ，，于是，

即，，

   ，解得或（舍去），…………………………………10分

又，   ∴ 直線存在，其方程為 ………………………………12分