Question

已知y=lg（ax-1）-lg（x-1）在（10，+∞）上是增函數，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：應先滿足函數的定義域，即當x∈（10，+∞）時ax-1＞0恒成立，由此可得a≥

1

10

；然后將原函數化為y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），結合已知應有y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上遞增，結合“反比例”函數的性質可求得a＜1 ②最后根據①②可得a的取值范圍是[

1

10

，1）．

解答： 解：由函數的定義域，即當 x∈（10，+∞）時，ax-1＞0恒成立，
顯然a＞0，∴y=ax-1是增函數，∴只需10a-1≥0，即a≥

1

10

 ①
原函數可化為y=lg

ax-1

x-1

=lg（a+

a-1

x-1

），
由題意只需y=

a-1

x-1

在（10，+∞）上遞增，結合“反比例”函數的圖象性質可知，
只需a-1＜0，即a＜1 ②
結合①②可得a的取值范圍是[

1

10

，1）．
故答案為：[

1

10

，1）

點評：本題綜合考查了函數的單調性（包括反比例函數）的性質，不等式恒成立的問題；不等式恒成立問題一般轉化為函數的最值問題來解決，屬于一種常考題型，應引起重視．