Question

若數列an=(2n-1)×2n，求其前n項和為Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n時，可對上式左、右的兩邊同乘以2，得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，兩式相減并整理后，求得Sn=(2n-3)×2n+1+6．試類比此方法，求得bn=n2×2n的前n項和T_n=

（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6

．

Answer 1

分析：由已知可得題目中所示的方法為數列求和的錯位相減法，由此類比在求數列bn=n2×2n的前n項和T_n時，也可將各項同乘2，錯位相減后，再結合已知中的結論化簡得到答案．

解答：解：根據數列求和的錯位相減法：
當數列an=(2n-1)×2n，
Sn=1×2+3×22+…+(2n-1)×2n
左、右的兩邊同乘以2，得到2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1，
兩式相減并整理后，求得Sn=(2n-3)×2n+1+6．
類比此方法，當bn=n2×2n，
Tn=12×2+22×22+32×23+…+n2×2n…①
2Tn=0+12×22+22×23+32×24+…+(n-1)2×2n+n2×2n+1…②
①-②得-Tn=1×2+3×22+32×23+…+(2n-1)×2n-n2×2n+1
=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6-n²×2ⁿ⁺¹=-（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹+6
∴T_n=（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6
故答案為：（n²-2n+3）×2ⁿ⁺¹-6

點評：本題考查的知識點是類比推理，其中正確理解并熟練掌握數列求和的錯位相減法，是解答的關鍵．