Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質定理，證得，從而得到平面；

（2）根據題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.

（1）證明：

在正方形中，，

因為平面，平面，

所以平面，

又因為平面，平面平面，

所以，

因為在四棱錐中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因為

所以平面；

（2）如圖建立空間直角坐標系，

因為，則有，

設，則有，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以平面的一個法向量為，則

根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，

所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.