【題目】已知函數
.
（1）當
時，求函數
的單調區間；
（2）當
時，證明: 
（其中e為自然對數的底數）.
【答案】（1）當
時， 
的遞增區間為
；
當
時，的遞增區間為
，
，遞減區間為
；
當
時，的遞增區間為
，
，遞減區間為
；
（2）見解析
【解析】
（1）求出函數的導數，通過討論
的取值范圍，求出函數的單調區間即可.
（2）問題轉化為
，令
，根據函數的單調性證明即可.
（1）由題意，函數的定義域為,
當時，
恒成立，故的遞增區間為；
當時，在區間，時
，時
，
所以的遞增區間為，，遞減區間為；
當時，在區間，時，時，
所以的遞增區間為，，遞減區間為；
綜上所述，當時， 的遞增區間為；
當時，的遞增區間為，，遞減區間為；
當時，的遞增區間為，，遞減區間為；
（2）當
時，由
,只需證明.
令 ，
.
設
，則
.
當
時，
，
單調遞減;
當
時，
，單調遞增,
∴當
時，取得唯一的極小值，也是最小值.
的最小值是
成立.
故成立.
優生樂園系列答案
新編小學單元自測題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了確定下一年度投入某種產品的宣傳費用，需了解年宣傳費
（單位：萬元）對年銷量
（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響對近6年宣傳費
和年銷量
的數據做了初步統計，得到如下數據：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣傳費 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年銷售量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
經電腦模擬，發現年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式
，兩邊取對數，即
，令
，即
對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（1）從表中所給出的6年年銷售量數據中任選2年做年銷售量的調研，求所選數據中至多有一年年銷售量低于21噸的概率．
（2）根據所給數據，求關于的回歸方程；
（3）若生產該產品的固定成本為200（萬元），且每生產1（噸）產品的生產成本為20（萬元）（總成本=固定成本+生產成本+年宣傳費），銷售收入為
（萬元），假定該產品產銷平衡（即生產的產品都能賣掉），2019年該公司計劃投入108萬元宣傳費，你認為該決策合理嗎？請說明理由．（其中
為自然對數的底數，
）
附：對于一組數據
，其回歸直線
中的斜率和截距的最小二乘估計分別為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
市某機構為了調查該市市民對我國申辦
年足球世界杯的態度，隨機選取了
位市民進行調查，調查結果統計如下：
支持 | 不支持 | 合計 | |
男性市民 |
| ||
女性市民 |
| ||
合計 |
|
|
（1）根據已知數據，把表格數據填寫完整；
（2）利用（1）完成的表格數據回答下列問題：
（i）能否在犯錯誤的概率不超過
的前提下認為支持申辦足球世界杯與性別有關；
（ii）已知在被調查的支持申辦足球世界杯的男性市民中有
位退休老人，其中
位是教師，現從這位退休老人中隨機抽取
人，求至多有
位老師的概率.
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在 △ABC 中，設 a，b，c 分別是角 A，B，C 的對邊，已知向量 
= (a，sinC－sinB)，
= (b + c，sinA + sinB)，且
(1) 求角 C 的大小
(2) 若 c = 3, 求 △ABC 的周長的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠生產產品x件的總成本c（x）=1200+
x3（萬元），已知產品單價P（萬元）與產品件數x滿足：p2=
，生產100件這樣的產品單價為50萬元．
（1）設產量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產量x定為多少件時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值（精確到1萬元）．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了解中學生對交通安全知識的掌握情況，從農村中學和城鎮中學各選取100名同學進行交通安全知識競賽.下圖1和圖2分別是對農村中學和城鎮中學參加競賽的學生成績按
，
，
，
分組，得到的頻率分布直方圖.
（Ⅰ）分別估算參加這次知識競賽的農村中學和城鎮中學的平均成績；
（Ⅱ）完成下面
列聯表，并回答是否有
的把握認為“農村中學和城鎮中學的學生對交通安全知識的掌握情況有顯著差異”？
成績小于60分人數 | 成績不小于60分人數 | 合計 | |
農村中學 | |||
城鎮中學 | |||
合計 |
附：
臨界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A1C1和BC的中點．
（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求證：C1F//平面ABE．
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