Question

【題目】已知圓： 過橢圓： ()的短軸端點， ， 分別是圓與橢圓上任意兩點，且線段長度的最大值為3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點作圓的一條切線交橢圓于， 兩點，求的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1.

【解析】試題分析: （Ⅰ）根據橢圓幾何性質得線段長度的最大值為，且，解出，得橢圓的方程；（Ⅱ）利用點斜式設直線方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理及弦長公式可得底邊長（用斜率及表示）；利用點到直線距離公式得三角形的高（用斜率及表示）；根據圓心到切線距離等于半徑得斜率與關系，代入面積公式并化簡得關于的函數關系式，最后利用基本不等式求最值.

試題解析:解：（Ⅰ）∵圓過橢圓的短軸端點，∴，又∵線段長度的最大值為3，

∴，即，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）由題意可設切線的方程為，即，則，得．①

聯立得方程組消去整理得．

其中，

設， ，則， ，

則．②

將①代入②得，∴，

而，等號成立當且僅當，即．

綜上可知： ．