Question

關(guān)于復(fù)數(shù)z的方程z²-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實(shí)數(shù)解，求a的值；
（2）用反證法證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，原方程不可能有純虛根．

Answer 1

解：（1）若此方程有實(shí)數(shù)解，設(shè)z=m∈R，代入方程可得 m²-（a+i）m-（i+2）=0，
即m²-am-2+（-m-1）i=0，∴m²-am-2=0，且-m-1=0，
∴m=-1，a=1．
（2）假設(shè)原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，則有 （ni）²-（a+i）ni-（a+2）i=0，
整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，∴，
∴對(duì)于①，判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，故假設(shè)不成立，
故原方程不可能有純虛根．
分析：（1）若此方程有實(shí)數(shù)解，設(shè)z=m∈R，代入方程利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，解方程求得a的值．
（2）假設(shè)原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件
可得，由于①的判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，從而得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．