Question

關于復數z的方程z²-（a+i）z-（i+2）=0（a∈R），
（1）若此方程有實數解，求a的值；
（2）用反證法證明：對任意的實數a，原方程不可能有純虛根．

Answer 1

分析：（1）若此方程有實數解，設z=m∈R，代入方程利用兩個復數相等的充要條件，解方程求得a的值．
（2）假設原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，利用兩個復數相等的充要條件
可得

-n2 +n -2 = 0   ① -an-1 = 0    ②

，由于①的判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，從而得到結論．

解答：解：（1）若此方程有實數解，設z=m∈R，代入方程可得 m²-（a+i）m-（i+2）=0，
即m²-am-2+（-m-1）i=0，∴m²-am-2=0，且-m-1=0，
∴m=-1，a=1．
（2）假設原方程有純虛根，令z=ni，n≠0，則有 （ni）²-（a+i）ni-（a+2）i=0，
整理可得-n²+n-2+（-an-1）i=0，∴

-n2 +n -2 = 0   ① -an-1 = 0    ②

，
∴對于①，判別式△＜0，方程①無解，故方程組無解無解，故假設不成立，
故原方程不可能有純虛根．

點評：本題考查兩個復數相等的充要條件，用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．