Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左頂點為A，右焦點為F₂，點P是橢圓上一動點，則當$\overrightarrow{P{F_2}}•\overrightarrow{PA}$取最小值時，$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{P{F_2}}}$|=3．

Answer 1

分析 由橢圓的方程求得左頂點為A（-2，0）右焦點為F₂（1，0），由y²=3-$\frac{3}{4}$x²，根據向量的坐標得出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=$\frac{1}{4}$（x+2）²，-2≤x≤2，利用函數性質，求出P點坐標，即可得出答案．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左頂點為A，右焦點為F₂，P（x，y）
∴左頂點為A（-2，0）右焦點為F₂（1，0），
$\overrightarrow{PA}$=（-2-x，-y），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（1-x，-y）
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-x，-y）•（1-x，-y）=（1-x）（-2-x）+y²，
∵點P為橢圓上一動點，
y²=3-$\frac{3}{4}$x²，代入得：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$\frac{1}{4}$（x+2）²，-2≤x≤2，
∴當x=-2時，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$最小，y²=3-$\frac{3}{4}$×4=0，
∴P（-2，0）時$\overrightarrow{PA}$=（0，0），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3，0）
丨$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨的值為3，
故答案為：3．

點評 本題考查橢圓的標準方程及性質，考查向量數量積的坐標運算，考查一元二次函數的性質，考查計算能力，屬于中檔題．