Question

【題目】已知函數f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對數的底數)．

(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性．

(2)是否存在實數t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)∵f(x)＝ex－，且y＝ex是增函數，

y＝－是增函數，∴f(x)是增函數．

∵f(x)的定義域為R，

且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，

∴f(x)是奇函數．

(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數，

由f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對x∈R恒成立，

則f(x－t)≥f(t2－x2)．

∴t2－x2≤x－tx2＋x≥t2＋t對x∈R恒成立≤min對一切x∈R恒成立≤0t＝－.

即存在實數t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x都成立．