Question

（14分）已知圓過點且與圓M:關(guān)于直線對稱

  (1)判斷圓與圓M的位置關(guān)系,并說明理由;

  (2)過點作兩條相異直線分別與圓相交于、

   ①若直線與直線互相垂直，求的最大值；

   ②若直線與直線與軸分別交于、，且,為坐標原點,試判斷直線與是否平行?請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 圓M與圓C外切，理由略

(2) ①、被圓所截得弦長之和的最大值為4

②直線和一定平行，理由略。

【解析】解:(1)設(shè)圓心,則,解得

則圓的方程為,將點的坐標代入得,故圓的方程為

,又兩半徑之和為,圓M與圓C外切.

 

(2) ①設(shè)、被圓所截得弦的中點分別為，弦長分別為，因為四邊形是矩形，所以,即

，化簡得

從而，(時取等號,此時直線PA,PB必有一條斜率不存在)綜上:  、被圓所截得弦長之和的最大值為4

另解：若直線PA與PB中有一條直線的斜率不存在,

則PA=PB=2,此時PA+PB=4.

若直線PA與PB斜率都存在，且互為負倒數(shù)，故可設(shè),即

，() 點C到PA的距離為，同理可得點C到PB的距離為，

<16,）

綜上：、被圓所截得弦長之和的最大值為4

②直線和平行,理由如下：

由題意知, 直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),

,由,得

因為點的橫坐標一定是該方程的解,故可得

同理,,

所以=

所以,直線和一定平行.