Question

已知圓C方程為x²+y²-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），橢圓中心在原點，焦點在x軸上．
（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；
（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關系，并證明你的結論；
（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）圓C的方程可化為：（x²+y²-2y+1）+m（8x+6y-6）=0．由

x2+y2-2y+1=0 8x+6y-6=0

，能求出圓c過定點（0，1）．
（2）圓C的方程可化為：（x-4m）²+[y-（3m+1）]²=25m²，由此求出圓心到直線l的距離可知直線與圓C相切．
（3）當m=2時，圓C的方程為：（x-8）²+（y-7）²=100，圓心為（8，7），半徑為10，與直線x=（8-10），即x=-2相切，所以橢圓的左準線為x=-2，又橢圓過點M（0，1），則b=1，由此求出橢圓方程，進而能夠得到A（-

2

，0），B（

2

，0）或A（

2

，0），B（-

2

，0）．

解答：解：（1）圓C的方程可化為：（x²+y²-2y+1）+m（8x+6y-6）=0．
由

x2+y2-2y+1=0 8x+6y-6=0

解得

x=0 y=1

，
∴圓c過定點（0，1）．
（2）圓C的方程可化為：（x-4m）²+[y-（3m+1）]²=25m²，
圓心到直線l的距離為d=

|4×4m+3×(3m+1)-3|

42+32

=

25|m|

5

=5|m|=r，
∴直線與圓C相切．
（3）當m=2時，圓C的方程為：（x-8）²+（y-7）²=100，
圓心為（8，7），半徑為10，與直線x=（8-10），即x=-2相切，
所以橢圓的左準線為x=-2，
又橢圓過點M（0，1），則b=1，
∴

a2 c =2 b=1

，∴a=

2

，b=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
在橢圓上任取一點Q（x，y）（y≠0），
則kQA•kQB=

y

x-s

 •

y

x-t

=

1- x2 2

(x-s)(x-t)

 =k對x∈(-

2

，

2

)恒成立，
∴

k= 1 2 k(s+t)=0 kst=1

，∴

k= 1 2 s= 2 t=- 2

或

k=- 1 2 s=- 2 t= 2

．
∴A（-

2

，0），B（

2

，0）或A（

2

，0），B（-

2

，0）．

點評：本題考查圓和圓錐曲線的綜合運用，具有一定的難度，解題地要注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．