Question

【題目】已知函數，

(Ⅰ)若討論的單調性；

(Ⅱ)若過點可作函數圖象的兩條不同切線，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析;(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：(Ⅰ)分 討論函數的單調性；(Ⅱ)求出經過點P的切線方程，由 在切線上，得到 ，問題轉化為有兩個不同的正數解，令，由單調性求出a的范圍.

試題解析：(Ⅰ)

①當時， ,此時, 上是減函數

②當時, ,得；

，得

此時, 在上單調遞減，在是增函數

③當時，解，得，

此時, 在和是減函數，在是增函數

(Ⅱ)設點是函數圖象上的切點，則過點的切線的斜率為，

所以過點的切線方程為．

因為點在切線上，所以

即．

若過點可作函數圖象的兩條不同切線，

則方程有兩個不同的正數解．

令，則函數與軸正半軸有兩個不同的交點．

令，解得或．

因為， ，

所以必須，即．

所以實數的取值范圍為．