Question

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知橢圓C：．
（1）過橢圓C的右焦點作一條垂直于x軸的垂軸弦MN，求MN的長度；
（2）若點P是橢圓C上不與頂點重合的任意一點，MN是橢圓C的短軸，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0）（如圖），求x_E?x_F的值；
（3）在（2）的基礎上，把上述橢圓C一般化為，MN是任意一條垂直于x軸的垂軸弦，其它條件不變，試探究x_E?x_F是否為定值？（不需要證明）；請你給出雙曲線中相類似的結論，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1） 把右焦點的橫坐標 x=代入橢圓C的方程，求得y=±，故得 MN=1．
（2）設 P（x，y），求出的l_MP 方程，令 y=0，則 得x_E，同理求得 x_F，再根據M，P 在橢圓C上，計算出x_E•x_F的值．
（3）先判斷x_E•x_F 為定值，再進行證明，先求出x_E 和x_F的值，再利用M，P 在雙曲線上，得到坐標間的關系，代入x_E•x_F 的表達式進行運算．
解答：解：（1）由條件可知右焦點的坐標為（，0），x=代入橢圓C的方程，
得y=±，所以，MN=1．
（2）設 P（x，y），M（0，1），N （0，-1），則 l_MP：y-1= x，
令 y=0，則  x_E=，同理可得：x_F=，∴x_E•x_F=．
∵M，P 在橢圓C： 上，∴，
則 x_E•x_F===4．
（3）點P是橢圓C：上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
直線 MP、MN分別交x軸于點E （x_E，0）和點F（x_F，0），則 x_E•x_F=a²．
點P是雙曲線C：上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP，
MN分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則 x_E•x_F=a²．
證明如下：設M（m，n），N（m，-n），P（x，y），則 l_MP：y-n=，
令 y=0，則  x_E=，同理可得：x_F=，x_E•x_F=．
∵M，P 在雙曲線C： 上，∴n²=b² （-1），y²=b²（），
則  x_E•x_F===a²．
點評：本題考查橢圓的定義、橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用．