Question

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x₀，y₀）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0）．
（1）試用x₀，y₀，m，n的代數式分別表示x_E和x_F；
（2）若C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（如圖），求證：x_E•x_F是與MN和點P位置無關的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究x_E和x_F經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與MN和點P位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明．

Answer 1

分析：（1）求出PM 直線的方程，令y=0，求出x_E，同理求得x_F ．
（2）由（1）可知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

．把M，P坐標代入橢圓的方程，求出n²，y₀²  代入
x_E•x_F的式子，化簡可得結論．
（3）第一層次：①點P是圓C：x²+y²=R²上不與坐標軸重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E•x_F =R² ．證法同（2）．
②點P是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
 直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E•x_F=a² ．證法同（2）．
第二層次：點P是拋物線C：y²=2px（p＞0）上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E+x_F =0．

解答：解：（1）因為MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，所以，N（m，-n），
則lMP：y-n=

y0-n

x0-m

(x-m)． 令y=0，則xE=

my0-nx0

y0-n

．
同理可得：xF=

my0+nx0

y0+n

．
（2）由（1）可知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

．∵M，P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1上，
∴n2=b2(1-

m2

a2

)，y02=b2(1-

x02

a2

)，
則xE•xF=

m2b2(1- x02 a2 )-b2(1- m2 a2 )x02

b2(1- x02 a2 )-b2(1- m2 a2 )

=

b2(m2-x02)

b2 a2 (m2-x02)

=a2（定值）
∴x_E•x_F是與MN和點P位置無關的定值．
（3）第一層次：
①點P是圓C：x²+y²=R²上不與坐標軸重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E•x_F =R² ．
證明如下：由（1）知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

，∵M，P在圓C：x²+y²=R²上，
∴n²=R²-m²，y₀²=R²-x₀²，則xE•xF=

m2(R2-x02)-(R2-m2)x02

(R2-x02)-(R2-m2)

=

R2(m2-x02)

(m2-x02)

=R2，
∴x_E•x_F是與MN和點P位置無關的定值．
②點P是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
 直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E•x_F=a² ．
證明如下：由（1）知：xE•xF=

m2y02-n2x02

y02-n2

，∵M，P在雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
∴n2=b2(

m2

a2

-1)，y02=b2(

x02

a2

-1)，
則xE•xF=

m2b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)x02

b2( x02 a2 -1)-b2( m2 a2 -1)

=

b2(x02-m2)

b2 a2 (x02-m2)

=a2
∴x_E•x_F是與MN和點P位置無關的定值．
第二層次：
點P是拋物線C：y²=2px（p＞0）上不與頂點重合的任意一點，MN是垂直于x軸的垂軸弦，
直線MP、NP分別交x軸于點E（x_E，0）和點F（x_F，0），則x_E+x_F =0．
證明如下：由（1）知：xE+xF=

2(my02-n2x0)

y02-n2

，∵M，P在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
∴y₀²=2px₀，n²=2pm，則xE+xF=

2(my02-n2x0)

y02-n2

=

2(m2px0-2pmx0)

y02-n2

=0，
∴x_E+x_F是與MN和點P位置無關的定值．

點評：本題考查橢圓、圓、雙曲線、拋物線的簡單性質，以及求直線和二次曲線的交點坐標的方法．