Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,設圓x2+y2-4x=0的圓心為Q.

(1)求過點P(0,-4)且與圓Q相切的直線的方程;

(2)若過點p(0,-4)且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點A,B,以OA、OB為鄰邊做平行四邊形OABC,問是否存在常數k,使得平行四邊形OABC為矩形?請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）=.（2）存在常數,使平行四邊形OABC得為矩形.

【解析】試題分析：（1）考慮直線斜率是否存在，當斜率存在時，設切線方程為: ，根據圓心到直線的距離等于半徑求出，即可求得直線的方程；（2）聯立得，寫出根與系數的關系，根據矩形的性質，利用向量可求出的值.

試題解析：(1)由題意知,圓心Q坐標為(2,0)，半徑為2

當直線斜率不存在時，直線方程為，符合題意

當直線斜率存在時，設切線方程為:

∴由,解得

∴所求的切線方程為=.

(2)假設存在滿足條件的實數,則設,

聯立得,

∵

∴ (或由(1)知),

∴且= =,

∵==

∴==,

又∵==,

∴要使平行四邊形OABC為矩形，則==

∴

∴存在常數，使平行四邊形OABC得為矩形.