Question

已知函數f(x)=2n· -x(x∈[0，+∞))的最小值為a_n(n∈N*)．

　　(1)求a_n；

　　(2)問在點列A_n(2n，a_n)中是否存在三點，使以這三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出所有的三角形；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)=2n· 　　∵　x∈[0，+∞) 　　∴　化為(4n2-1)x2=1 　　∵　n∈N*，∴　4n2-1>0，∴　x= 　　∴　y=f(x)在上為減函數 　　在上增函數． 　　∴　當x=時 　　f(x)取最小值 　　 　　　 = 　　(2)假設An中任意三點Ap(2p，ap)，Aq(2q，aq) 　　Ar(2r，ar)，p、q、r∈N* 　　則Ap、Aq連線的斜率 　　 　　同理Ap、Ar，連線的斜率k2為正數，Aq、Ar連線的斜率k3為正數．如果△ApAqAr為直角三角形，則k1、k2、k3中必有兩個乘積為-1，但k1、k2、k3均為正數，故上述結論不可能．∴　在An(2n，an)中不存在三點，使這三點為頂點的三角形為直角三角形．

提示：

求函數最值的方法比較多，利用導數討論出函數的單調性，再求最值是其中一個比較重要的方法，第二問的方法不容易想到，但既然是三角形形狀問題，一般來說要畫圖，而畫圖必須了解點列An的特點，由(2n，)發現An在雙曲線x2-y2=1的右支的上半部分上，從而發現任兩點連線斜率都為正．