Question

（附加題）已知定義在[-1，1]上的奇函數f（x），在x∈（0，1]時，f（x）=．
（1）當x∈[-1，1]時，求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=-2^x•f（x）（-1＜x＜0），求函數y=g（x）的值域；
（3）若關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數，x∈（0，1]時，f（x）=，
∴f（x）=-f（-x）=-=-
∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在區間[-1，1]上，有f（x）=；
（2）-1＜x＜0時，g（x）=2^x•==1-，
∵-1＜x＜0，∴
∴，∴
∴函數y=g（x）的值域為[]；
（3）關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等價于λ•＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜在x∈（0，1]上有解
令h（x）=，則h′（x）=
∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上單調遞增
∴2＜h（x）≤
∵λ＜在x∈（0，1]上有解
∴λ＜．
分析：（1）定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，結合x∈（-1，0）時，f（x）的解析式，函數的奇偶性可得結論；
（2）求出函數g（x）的解析式，寫成部分分式的形式，即可求函數y=g（x）的值域；
（3）關于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等價于λ•＜1在x∈（0，1]上有解，即λ＜在x∈（0，1]上有解，確定右邊對應函數的值域，即可得到結論．
點評：本題考查利用函數的奇偶性求對稱區間上的解析式，考查函數的值域，考查不等式有解，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．