Question

【題目】已知函數,令,其中是函數的導函數.

（1）當時,求的極值;

（2）當時,若存在,使得恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值,無極大值.（2）

【解析】

試題分析：（1）先求函數導數：，再求導函數零點。列表分析可得函數單調性變化規律，進而確定極值（2）先將不等式存在性問題轉化為對應函數最值問題：，即，，再利用變量分離法將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題最大值，最后根據導數求函數最值

試題解析：（1）依題意,則,當時,,令,解得.當時,;當時,.所以的單調遞減區間為,單調遞增區間為.所以時,

取得極小值,無極大值.

（2）,當時,即:時,恒有成立.所以在上是單調遞減.所以,所以,因為存在,使得恒成立，所以,整理得,

又.令,則,構造函數,當時,; 當時,,

此時函數單調遞增,當時,,此時函數單調遞減,所以,

所以的取值范圍為.