Question

【題目】已知拋物線的焦點為,其準線與軸交于點,過作斜率為的直線與拋物線交于兩點,弦的中點為的垂直平分線與軸交于．

(1)求的取值范圍;

(2)求證: .

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：(1)由題意求出拋物線的準線方程,求出的坐標,寫出直線的點斜式方程,和拋物線方程聯立,由判別式大于0可得答案;

(2)利用一元二次方程根與系數的關系求出中點的坐標,代入直線方程求出的縱坐標,寫出的垂直平分線方程,求出與軸的交點的橫坐標,由中求得的的范圍得到x0的范圍.

試題解析：(1)由y2＝-4x,可得準線x＝1,

從而M(1,0)．

設l的方程為y＝k(x-1),聯立

得k2x2-2(k2-2)x＋k2＝0.

∵A,B存在,∴Δ＝4(k2-2)2-4k2>0,

∴-1<k<1.又k≠0,

∴k∈(-1,0)∪(0,1)．

(2)設P(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),

可得x3＝,y3＝k(-1)＝-＝-.

即直線PE的方程為y＋＝- (x-)．

令y＝0,x0＝--1.

∵k2∈(0,1),∴x0<-3.