Question

已知以向量v=為方向向量的直線l過點，拋物線C：y²=2px（p＞0）的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上.
（1）求拋物線C的方程；
（2）設A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m,直線OB與直線m交于點N，若·+p²="0" （O為原點，A、B異于原點），試求點N的軌跡方程.

Answer 1

（1）y²=4x（2）點N的軌跡方程為x=-2(y≠0)

（1）由題意可得直線l的方程為y=x+,                        ①
過原點垂直于l的直線方程為y="-2x.                                 " ②
解①②得x=-.
∵拋物線的頂點關于直線l的對稱點在該拋物線的準線上，
∴-=-×2, p=2.
∴拋物線C的方程為y²=4x.
(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(x,y),由題意知y=y₁.
由·+ p ²=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0,
又y₁²=4x₁,y₂²=4x₂,解得y₁y₂="-8,                                      " ③
直線ON：y=x，即y=x.                                       ④
由③、④及y=y₁得點N的軌跡方程為x=-2(y≠0).