Question

已知a∈R，函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函數的圖象為中心對稱圖形，若本題中的函數f（x）圖象以P（2，m）為對稱中心，求實數a和m的值
（2）若|a|＞1，求函數f（x）在閉區間[0，2|a|]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）解法一：由函數f（x）圖象以P（2，m）為對稱中心，取x=1，3，則f（1）+f（3）=2f（2），代入計算即可得到a，f（x），及m=f（2）；
解法二：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，可得f^′（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），l利用對稱中心可得

1+a

2

=2，以下同解法一；
（2）利用導數的運算法則得到f^′（x），由|a|＞1，分類討論a＞1與a＜-1，得到其單調性與極值，進而得到最值．

解答：解：（1）解法一：由函數f（x）圖象以P（2，m）為對稱中心，
則f（1）+f（3）=2f（2），代入計算得：3a-1+27-9a=8，∴a=3，
故f（x）=2x³-12x²+18x，
則m=f（2）=16-48+36=4
解法二：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，∴f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），
則a+12=2，則a=3，故f（x）=2x³-12x²+18x，
則m=f（2）=16-48+36=4
（2）由f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-a）（x-1），
因為|a|＞1，∴a＜-1或a＞1，討論：
1．若a＜-1，如下表：

x	（0，1）	1	（1，2|a|）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	3a-1	↗

則此時f_min（x）=f（1）=3a-1．
若a＞1時，如下表：

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2|a|）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	3a-1	↘	3a2-a3	↗

由f（0）=0，f（a）=3a²-a³=a²（3-a），
i）當1＜a≤3時，f（a）≥f（0），則f_min（x）=f（0）=0；
ii）當a＞3時，f（a）＜f（0），則f_min（x）=f（a）=3a2-a3；

綜上所述：f_min（x）=

3a-1，(a＜-1) 0，(1＜a≤3) 3a2-a3，(a＞3)

．

點評：本題綜合考查了利用導數解決3次函數的中心對稱性、單調性、極值與最值等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力與計算能力．