Question

不等式選講：
已知a，b，c為實數，且a+b+c+2-2m=0，a2+

1

4

b2+

1

9

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

；
（Ⅱ）求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由柯西不等式可得 (a2+

1

4

b2+

1

9

c2)×14≥（a+b+c）²，由此變形證得要證的不等式．
（Ⅱ）由已知可得14（1-m）≥（2m-2）²，化簡得 2m²+3m-5≤0，求得-

5

2

≤m≤1．再由 a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，可得 m≤1．綜合可得實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）證明：由柯西不等式得[a²+(

1

2

b)2+(

c

3

)2]•[1²+2²+3²]≥（a+b+c）²，…2分
即 (a2+

1

4

b2+

1

9

c2)×14≥（a+b+c）²，∴a2+

1

4

b2+

1

9

c2≥

(a+b+c)2

14

．…4分
（Ⅱ）由已知得a+b+c=2m-2，a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m，∴14（1-m）≥（2m-2）²，
∴2m²+3m-5≤0，∴-

5

2

≤m≤1．…6分
又 a2+

1

4

b2+

1

9

c2=1-m≥0，∴m≤1．
綜上可得，-

5

2

≤m≤1，即實數m的取值范圍為[-

5

2

，1]．…7分

點評：本題主要考查利用柯西不等式證明不等式，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．